Arithmétique et Fractions

Dans cette partie du programme de 3ème, l'accent doit être mis sur les points suivants :

• Connaitre et utiliser un algorithme permettant de calculer le Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres entiers donnés.
• Déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux.
• Simplifier une fraction pour la rendre irréductible.
• Réaliser à la main, dans les cas relevant du calcul mental, une addition, une soustraction ou une multiplication entre deux fractions.

Le premier point suppose que les élèves aient des notions sur ce que sont les diviseurs d'un nombre, donc aussi sur les multiples d'un nombre. Ces notions ont été vues depuis la 6ème.

Le deuxième point, qui suppose de savoir ce qu'est un nombre premier, découle du premier et de l'utilisation de l'algorithme mentionné dans ce dernier.

Le troisième point découle aussi du résultat obtenu dans le permier point, mais fait néanmoins appel à ce qui a été vu, les années précédentes, concernant les fractions égales et la proportionnalité.

Le dernier reprend en partie ce qui a été enseigné durant les années précédentes sur les calculs avec les fractions. Ce sera l'occasion de voir s'il n'existe pas quelques raccourcis intéressants pour réaliser ce type de calcul.

C'est donc finalement un chapitre essentiel pour repréciser, vérifier et établir une fois pour toutes les compétences des élèves concernant tous les types de calculs contenant une ou plusieurs fractions.

Les pré-requis pour l'étude de ce chapitre sont :

- Les multiples et les diviseurs (niveau 6ème)

- Comment on obtient une fraction égale à une autre (niveau 6ème)

- Comment on effectue des additions et des soustractions de fractions (niveau 5ème)

1ère partie - Calcul du Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres entiers donnés

Méthode "basique" (peu utilisable avec des grands nombres)

Chercher le Plus Grand Diviseur Commun à deux nombres sous-entend que :

1°) Nous fassions la liste complète des diviseurs respectifs de chacun d'eux.

2°) Nous cherchions dans ces deux listes s'il y a plusieurs nombres communs.

3°) Nous choisissions le plus grand (s'il existe) des nombres communs trouvés.

Par exemple, si nous cherchons le Plus Grand Diviseur Commun à 24 et 36, nous pourrons faire :

D'abord la liste des diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Puis la liste des diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Dans ces deux listes, nous voyons que les nombres 1, 2, 3, 4, 6, et 12 apparaissent.

Le plus grand étant 12, nous pouvons dire que :

12 est le Plus Grand Diviseur Commun à 24 et 36.

On écrira, pour faire plus court :

PGCD(24;36) = 12 ou bien 12 = PGCD(24;36)

Si nous voulions faire de même avec le PGCD(323;475), nous aurions peut-être moins de facilité : Comment connaitre avec exactitude la liste complète de tous les diviseurs de 323 ? de 475 ?

A première vue, 323 semble n'avoir aucun diviseur immédiat en dessous de 10. Il faut donc chercher dans les critères de divisibilité supérieurs à 10 : En suivant les règles données sur le lien précédent, nous trouverons, sans trop de peine mais avec un peu de patience, que 323 est divisible par 17 (car 32 - 5x3 = 32 - 15 = 17) puis par 19 (car 32 + 2x3 = 32 + 6 = 38 qui vaut 19 x 2). Ses diviseurs seraient alors, si nous n'avons rien oublié : 1, 17, 19, 323.

De même, nous pourrons découvrir, en redoublant de patience, que 475 est divisible par 5, 19, 25, 95, 475.

Et là, miracle, notre patience est récompensée : les deux listes contiennent 19.

C'est donc lui le Plus Grand Diviseur Commun à 323 et 475 et nous pouvons écrire fièrement PGCD(323;475) = 19 !

Exercice : Avec la méthode précédente, et en vous aidant des critères de divisibilité supérieurs à 10, trouvez, s'il existe, le Plus Grand Diviseur Commun des paires de nombres suivants.

(Pour vérifier votre solution, passez votre curseur de souris sur chaque paire de nombres)

a) 8 et 20          b) 88 et 44          c) 111 et 74          d) 522 et 348          e) 357 et 294

Tout cela est bien beau, mais qui nous dit qu'il y a toujours un Plus Grand Diviseur Commun à deux nombres ? Et si, après des heures de recherches avec la méthode précédente, nous ne trouverions aucun nombre commun dans les deux listes, à part 1 comme dans le e) de l'exercice précédent ? N'y a-t-il pas de méthodes plus rapides pour déterminer le PGCD de deux nombres ? Si oui, sont-elles vraiment si rapides que ça ?

Toutes ces questions ont leur réponse, grâce aux mathématiciens qui travaillent sur la notion de PGCD depuis des centaines voir des milliers d'années ! Nous allons en détailler quelques unes dans le paragraphe suivant.

2ème partie - Quelques réponses aux questions précédentes, et autres méthodes utiles pour calculer le Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres entiers

(La suite de cet article n'est accessible qu'aux visiteurs enregistrés)